Senin, 23 Januari 2012

Membuktikan Teorema Pada Teori Graph Berbasis Pengajuan Masalah Sebagai Upaya Meningkatkan Berpikir Kreatif Mahasiswa FMIPA Matematika UNIMED

MEMBUKTIKAN TEOREMA PADA TEORI GRAPH BERBASIS PENGAJUAN MASALAH SEBAGAI UPAYA MENINGKATKAN BERPIKIR KREATIF MAHASISWA FMIPA MATEMATIKA UNIMED

Mulyono
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Medan
Jl Willem Iskandar Pasar V Medan, Sumatera Utara

Abstrak

Penelitian ini bertujuan meningkatkan berpikir kreatif mahasiswa melalui pembuktian teorema pada teori Graph dengan menerapkan pembelajaran Posing. Penelitian ini merupakan penelitian tindakan kelas dengan siklus empat kali pertemuan. Berdasarkan hasil analisis statistik deskriptif diperoleh hasil sebagai berikut : Perubahan presasi belajar mahasiswa dari pertemuan 1 dan 2 pada siklus 1 dan pertemuan 3 dan 4 pada siklus II mengalami peningkatan. Pada pertemuan I siklus I pembelajaran menggunakan Problem Posing secara Individual nilai rata-rata mahasiswa setiap kelompok belum naik, namun pada pertemuan ke 2 nilai rata-rata mahasiswa mengalami peningkatan. Sedangkan pada pertemuan ke 3 dan ke 4 pada siklus II secara berkelompok nilai rata-rata mahasiswa sudah cukup baik, yaitu rata-ratanya di atas 70 (X > 70). Partisipasi dan motivasi mahasiswa dalam belajar menggunakan Problem Posing-LKMT mengalami keantusiasan yang tinggi, terlebih-lebih saat negosiasi muncul pertanyaan dan tanggapan untuk mencari jawaban yang paling benar dan yang lebih baik.
Kata Kunci : Berpikir Kreatif, Teorema, Problem Posing

PENDAHULUAN
Salah satu mata kuliah yang diajarkan pada semester ganjil 2007/2008 dalah Mata Kuliah Matematika Diskrit II (MAT 4428) dengan bobot 2 sks. Selain mata kulian Matematika Diskrit (MAT 4422) dengan bobot 2 sks sebagai mata kuliah prasyarat, ada mata kuliah lain sebagai pendukung Mata Kuliah Matematika Diskrit II, antara lain kuliah Himpunanan dan Logika (MAT 4402) 4 sks yang terkait dengan penalaran deduktif dan Geometri Datar (MAT 4437) 3 sks yang berhubungan dengan bentuk visual dari graf.

Mata Kuliah Matematika Diskrit II ini sebagai lanjutan dari Mata Kuliah Matematika Diskrit I, yang membahas beberapa konsep dan objek matematika yang digunakan dalam berbagai pemecahan masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari. Topik-topik yang dipelajari secara garis besar sebagai berikut : Graf Bobot, Lintasan Terpendek, Graf Euler, Formula Euler, Graf Hamilton, Teorema Kuratowsky, Graf Dual, Pewarnaan Titik, Pewarnaan Sisi, Pewarnaan Peta, Derajat Masuk dan Derajat Keluar. Secara Hirarkis sajiannya adalah penyampaian Definisi -> Konsep -> Teorema -> contoh Soal.

Dari pengamatan selama ini, pada saat pembuktian Teorema mahasiswa cenderung membuktikan dengan memberikan satu contoh soal sudah dianggap selesai, hal ini tentunya tidak bisa dibenarkan karena pembuktian semacam itu tidak bisa digereralisasi, artinya tidak dapat berlaku secara umum. Selain itu kesalahan mahamahasiswa dalam algoritma pembuktian teorema tidak runtun dan apa yang dibuktikan kurang terarah. Hal ini tentunya mengganggu proses pembelajaran bahkan pekerjaan membuktikan menjadi salah. Padahal suatu Teorema sangat penting pembuktiannya secara benar, karena suatu teorema akan terkait dengan Teorema selanjutnya bahkan terhadap aplikasinya.

Terkait dengan itu dari hasil MID Tes tanggal 17 April 2008 setelah dianalisis ada 6 masalah mahasiswa yang berhasil diidentifikasi penulis sebagai berikut :
1. Tidak dapat memahami kalimat-kalimat dalam soal
2. Tidak dapat membedakan informasi yang diketahui dari permintaan soal
3. Kurang lengkap dalam menulis Definisi
4. Kesalahan dalam memaknai konsep.
5. Tidak memahami suatu Teorema untuk menyelesaikan soal aplikasi
6. Tidak dapat membuktikan suatu teorema

Apabila dipersempit 6 kelemahan mahasiswa yang berhasil diidentifikasi di atas, terutama pada kemampuan mahasiswa dalam memahami masalah dan merencanakan suatu penyelesaian, diperlukan suatu kemampuan berfikir kreatif mahamahasiswa yang memadai, karena kemampuan tersebut merupakan kemampuan berfikir (bernalar) tingkat tinggi setelah berfikir dasar (basic) dan Kritik (Klulik,1995 : 3)

Upaya-upaya peningkatan sumber daya manusia tidak dapat terlepas dari lembaga pendidikan tinggi sebagai penyelenggara pendidikan, terutama lembaga pendidikan tinggi yang mengasuh bidang kependidikan, Oleh karena itu Unimed sebagai salah satu lembaga pendidikan tinggi yang mengasuh sumber daya manusia yang dipersiapan untuk membina generasi muda perlu untuk terus membenahi diri, termasuk di dalamnya mengefektifkan sistem pembelajaran guna menghasilkan tenaga-tenaga yang mampu menghadapi tentangan dimasa depan.

Berdasarkan hasil pengamatan tim pengajar dan beberapa tenaga edukatif di lingkungan FMIPA pada Jurusan Pendidikan Matematika menilai bahwa kemampuan mahasiswa dalam bidang pembuktian suatu teorema masih kurang, sehingga mahasiswa mengalami kesulitan dalam bidang pembuktian suatu teorema masih kurang, sehingga mahasiswa mengalami kesulitan dalam memecahkan masalah yang terkait dengan soal pembuktian teorema bahkan soal dalam bentuk aplikasinya yang dihadapi. Hal ini terlihat dari hasil hasil belajar mahasiswa semester genap tahun akademik 2004/2005 menunjukkan 33,92% mahasiswa memperoleh nilai C, hanya 5,35% memperoleh nilai A dan 34,82% yang memperoleh nilai B, serta 19,64% nilai D dan 6,25% niali E. Demikian pula pada mata kuliah diskrit I, terlihat bahwa terdapat 26,85% mahasiswa hanya mencapai nilai C, dan 4,57% yang memperoleh nilai A dan 17,14% yang memperoleh nilai B, serta 25,72% memperoleh nilai D dan 25,72 memperoleh nilai E. Dengan kenyataan ini perlu kiranya ada upaya agar kemapuan mahasiswa dapat ditingkatkan melalui sistem pembelajaran yang kreatif dan efektif.

Untuk meningkatkan keefektifan pengajaran adalah memilih atau menetapkan metode pengajaran yang sesuai dengan kondidi pengajaran, seperti kerakteristik peserta didik dan tipe isi pengajaran yang akan disampaikan, yang kesemuanya diprediksi dapat mempengaruhi hasil belajar, agar dapat mempermudah peserta didik belajar (Kemp, Morrison dan Ross 1994)

Mata kuliah Matematika Diskrit II membekali mahasiswa untuk menyelesaikan persoalan-persoalan dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bentuk hitungan, maupun dalam bentuk visualisasi konsep graf yang aplikatif. Oleh karena itu sasaran mata kuliah ini menyajikan isi materi yang terkait dengan teorema-teorema untuk mendukung persoalan yang ditemukan dalam kehidupan real. Dalam peleksanaanya, perkuliahan dilakukan dengan membekali kepada mahasiswa tentang konsep-konsep dasar perhitungan yang dapat digunakan, teori-teori yang mendasar dan kemudian pada akhirnya mahasiswa diminta untuk memiliki kemampuan membuktikan teorema.

Dengan pola perkuliahan selama ini sangat dirasakan kelemahan-kelemahan mahasiswa terutama dalam pembuktian teorema, sehingga perlu adanya suatu strategi untuk membantu mahasiswa menutupi kekurangan yang dimiliki.

Berdasarkan dari kenyataan ini, sebagai tenaga edukatif sangat perlu adanya variasi metode pembelajaran yang diarahkan sesuai dengan karakterisktik peserta didik dan isi pembelajaran yang disampaikan agar tujuan pembelajaran dapat dicapai sesuai dengan yang diharapkan, disamping memberikan kemudahan bagi peserta didik untuk mencapai tujuan tersebut. Dalam hal ini menetapkan strategi pengajaran yang optimal untuk mendorong prakarsa belajar sesuai dengan karakteristik peserta didik dan isi pembelajaran yang di pelajari. Oleh karena itu menurut Reigeluth (1983) bahwa terdapat tiga variable pengajaran, yaitu variabel kondisi pengajaran, variabel metode pengajaran, dan variabel hasil pengajaran, sedang yang berpeluang untuk dimanipulasi hanya variabel metode pengajaran, karena variabel metode pengajaranlah yang harus disesuaikan dengan kondisi pengajaran agar strategi itu efektif untuk meningkatkan hasil pengajaran.

Untuk menciptakan suasana agar mahamahasiswa lebih aktif belajar dan berpikir kreatif diperlukan kemauan dan kemampuan tenaga edukasi dalam mengambil keputusan tenaga edukatif dalam mengambil keputusan yang tepat dengan situasi belajar yang diciptakan dan mempertimbangkan kondisi pengajaran yang diprediksi dapat mempengaruhi hasil belajar.

Berdasarkan uraian tersebut terungkap bahwa akar masalah yang dialami oleh mahasiswa dalam mengikuti perkuliahan Matematika Diskrit II adalah terletak pada kurang dilatih berfikir kreatif mahasiswa dalam membuat pertanyaan sendiri yang hirarkis dalam pembuktian suatu teorema.


B. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian tindakan (Action Research). Penelitian dilakukan dalam 2 siklus, masing-masing siklus 2 kali pertemuan. Jadi total pertemuan dengan mahasiswa sebanyak 4 kali pertemuan. Pelaksanaan penelitian mengadopsi model yang di gambarkan oleh Kernan (1991) seperti pada gambar 1:

Gambar 1
Klik Gambar Untuk Melihat Ukuran Lebih Besar

Situasi masalah yang dihadapi dalam mata kuliah matematika diskrit II adalah kurang dilatihnya berpikir kreatif mahasiswa dalam membuat pertanyaan sendiri yang hirarkis dalam pembuktian suatu teorema. Berdasarkan kondisi ini, maka sebelum kegiatan tindakan dilakukan perlu dilaksanakan analisis kebutuhan berupa kelemahan-kelemahan yang dialami oleh mahamahasiswa yang akan mengikuti kegiatan pembelajaran di ruang kuliah. Untuk mengetahui kelemahan dan kesulitan yang dialami mahmahasiswa dilakukan tes awal materi prasyarat yang diperlukan dalam kegiatan pembelajaran. Berdasarkan kelemahan-kelemahan yang diperoleh dari tes awal, dosen akan merumuskan dugaan-dugaan sementara yang menjadi dasar dalam pengembangan perencanaan tindakan.

Pada tahap selajunya dikembangkan program pelaksanaan yangkan dilakukan dalam pebelajaran, yag akan mejadi pedoman dalam melaksanakan tindakan kepada mahamahasiswa. Program pelaksanaan yang dikembangkan berupa perencanan strategi tindakan, persiapan bahan-bahan yang diperlukan, dan termasuk teknik mengevaluasi hasil tindakan. Setelah pengembangan program ini selesai, maka tahap selanjutnya adalah melaksanakan tindakan yang sesuai dengan program yang telah ditetapkan. Selanjutnya hasil tindakan akan dievaluasi antara lain kemampuan mahmahasiswa yang akan dievaluasi dengan menggunakan lembar penilaian yang telah disediakan. Hasil evaluasi ini akan menjadi masukan dan akan direfleksi sesuai dengan kenyataan yang diperoleh, sehingga kelemahan-kelemahan yang ada akan diperbaiki pada siklus selanjutnya (kedua).

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Hasil Penelitian

Rata-rata Penguasaaan Mahasiswa pada pembuktian Teorema setiap Kelompok.
Dalam penelitian tindakan kelas (action risearch) ini mahasiswa di kelompokkan berdasarkan nomor urutan, dari empat kali pertemuan dengan empat kali tes dalam penelitian ini diperoleh data pada Tabel 5.1 sebagai berikut :

Tabel 1
Rata-rata Hasil Belajar Mahasiswa selama
4 kali Tes dari 4 kali pertemuan

Kelompok Responden T1 T2 T3 T4
Kelompok 1 64 67 70 75
Kelompok 2 60 62 72 73
Kelompok 3 67 71 73 77
Kelompok 4 60 62 70 75
Kelompok 5 58 70 73 79
Kelompok 6 58 64 73 79
Kelompok 7 62 71 71 79
Kelompok 8 63 67 71 77
Kelompok 9 60 62 74 80

Berdasarkan data pada Tabel 5.1 secara nilai rata-rata mahasiswa dari test T1 sampai T4 mengalami peningkatan kecuali kelompok 7 pada tes T3 ke T4 tidak mengalami peningkatan (tetap), namun penguasaan mahasiswa terhadap bahan ajar secara keseluruhan baik. Berpikir kreatif meningkat.

Lembar Kerja Mahasiswa Terbimbing pada Pembuktian Teorema
Data Pemberian lembar kerja mahasiswa terbimbing dianalisa secara deskriptif, data-data mahasiswa dalam mendefinisikan pengertian dari graf yang ada di LKMT tidak semua dianalisa dengan pertimbangan data-data mahasiswa yang diberikan ada kemiripan atau sama dengan mahasiswa lain. Untuk itu penulis mengelompokkan menjadi enam kategori berikut :
1. Berdasarkan definisi Graf, mahasiswa kurang lengkap mendefinisikannya, karena himpunan V tidak sama dengan Ø dan himpunan jalur E boleh kosong.
2. Berdasarkan definisi Graf berarah, mahasiswa kurang lengkap mendefinisikannya, graf berarah adalah graf yang semua jalurnya mempunyai arah.
3. Berdasarkan definisi lisntasan dari suatu graf, mahasiswa kurang terarah mendefinisikannya sehingga sulit untuk dipahami. Lintasan adalah Walk yang titik dan jalurnya harus berbeda.
4. Berdasarkan definisi graf Isomorfik, mahasiswa kurang lengkap mendefinisikannya karena 2 graf yang Isomorfik itu harus memenuhi 3 syarat berikut :
     a). Bijektif
     b). Mengawetkan simpulan-simpul yang bertetangga
     c). Mengawetkan simpulan-simpul yang tidak bertetangga
5. Berdasarkan definisio graf Pohon, mahasiswa salah mendefinisikannya karena Graf Pohon adalah Graf terhubung yang tidak memiliki sikel.
6. Berdasarkan definisi semua titik mempunyai derajat genap dari suatu graf, mahasiswa keliru mendefinisikannya, karena semua titik mempunyai derajat genap bukan jumlah derajat dari suatu Graf G adalah genap.

1 komentar

fauziah ulfa 24 Januari 2012 pukul 03.18

Menurut pendapat saya, Partisipasi dan motivasi mahasiswa dalam belajar menggunakan Problem Posing-LKMT mengalami keantusiasan yang tinggi, terlebih-lebih saat negosiasi muncul pertanyaan dan tanggapan untuk mencari jawaban yang paling benar dan yang lebih baik. Namun yang harus diperbaiki dalam penelitian ini adalah pada saat pembuktian Teorema mahasiswa cenderung membuktikan dengan memberikan satu contoh soal sudah dianggap selesai, hal ini tentunya tidak bisa dibenarkan karena pembuktian semacam itu tidak bisa digereralisasi, artinya tidak dapat berlaku secara umum. Selain itu kesalahan mahamahasiswa dalam algoritma pembuktian teorema tidak runtun dan apa yang dibuktikan kurang terarah. Padahal suatu Teorema sangat penting pembuktiannya secara benar, karena suatu teorema akan terkait dengan Teorema selanjutnya bahkan terhadap aplikasinya.Dengan kenyataan ini perlu kiranya ada upaya agar kemapuan mahasiswa dapat ditingkatkan melalui sistem pembelajaran yang kreatif dan efektif. Selain itu, untuk meningkatkan keefektifan pengajaran adalah memilih atau menetapkan metode pengajaran yang sesuai dengan kondidi pengajaran, seperti kerakteristik peserta didik dan tipe isi pengajaran yang akan disampaikan, yang kesemuanya diprediksi dapat mempengaruhi hasil belajar, agar dapat mempermudah peserta didik belajar.

Posting Komentar